Prof. Dr.-Ing. habil. Arnim Nethe

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Dr. Arnim Nethe

zur Person Forschung Lehre Publikationen

Forschung

Prozessmodell für induktiv erzeugte invariante räumliche Wärmequellen

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1 Einführung

Heutzutage wird im Bereich der Prozessentwicklung und der Prozessführung die Simulation als ein strategisches Werkzeug angesehen. Sie dient zur modellhaften Darstellung oder Nachbildung bestimmter Aspekte eines vorhandenen oder eines noch zu entwickelnden Systems. Sie erlaubt die Untersuchung von Systemen, an denen die Durchführung zu gefährlich, zu teuer oder sogar unmöglich ist.

Grundlegend für jede Simulation ist die Verfügbarkeit eines Modells, das mathematisch genau die wesentlichen Prozesseigenschaften beschreibt. Solche Modelle sind häufig nicht vorhanden oder besitzen noch nicht die Entwicklungsreife, die auch Nichtspezialisten eine problemlose Anwendung erlauben würde. Da die Modellbildung zum einen profundes Sachwissen, zum anderen aber auch Kreativität und Intuition erfordert und sie damit auch als eine Kunst angesehen werden kann, soll diese Abhandlung dazu beitragen, den Vorgang der Prozessmodellbildung als solchen zu definieren und zu systematisieren.

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2 Prozessmodell zum induktiven Oberflächenhärten

Der Einsatz der Induktionserwärmung für industrielle Zwecke erlaubt das berührungsfreie Erwärmen relativ großer Flächen durch die Erzeugung von räumlichen Wärmequellen direkt im Werkstück. Die gewünschte gezielte Steuerung der Wärmequellen ist besonders aufwendig, wenn die benötigten Frequenzen und Abmessungen an die Grenzen vorher ermittelter Arbeitsbereiche stoßen. Ein Prozessmodell ist unerlässlich, wenn in der Planungsphase eine Beurteilung neuer Werkstücke ohne zeitaufwendige Versuche durchgeführt werden soll. Das Modell soll so einfach wie möglich sein, um systembedingte Fehler von vornherein auszuschließen und seine Bewertung in Standardprogrammen z.B. der CAD zu ermöglichen.

Ziel ist der Entwurf eines feldtheoretischen Prozessmodells zum zur Zeit noch nicht befriedigend gelösten Problem des induktiven Oberflächenhärtens unter Verwendung der oben abgeleiteten Systematisierung der Modellbildung. Die bekannten thermodynamischen und metallographischen Anteile am Gesamtprozess werden der Vollständigkeit halber erwähnt und kurz erläutert. Der neue elektrotechnische, feldtheoretische Anteil des Prozesses soll dagegen ausführlich beschrieben und darauf aufbauend das Prozessmodell erstellt werden.

Die Anordnung, für die das Prozessmodell abgeleitet wird, ist ein industriell eingesetzter Aufbau zum Härten von kreiszylindrischen Werkstücken. Sie besteht aus einer Spule mit einer Windung, genauer gesagt einem leitenden Vierkantrohr, in dem das Kühlwasser fließt. Um Streufelder im Außenraum zu vermeiden, ist das Rohr in ein Eisenjoch eingebettet.

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3 Prozessmodellbildung

Um von der Anordnung der Härtungseinrichtung zum feldtheoretischen Prozessmodell zu gelangen, ist die zur Auswahl der wesentlichen Elemente notwendig. Dazu wird von der realen Anordnung ein theoretisches Modell erstellt und die Modellstruktur analysiert. Nach dieser Betrachtung kann anschließend eine entsprechende Reduzierung durchgeführt werden. Dieser Schritt der strukturierten Entkopplung erfordert Intuition und eine entsprechende Sachkenntnis in der Berechnung feldtheoretischer Probleme. Als Gesetzmäßigkeiten stehen für den hier betrachteten elektrodynamischen Anteil die Maxwellschen Gleichungen, die mittels der feldtheoretischen Ansätze zur Laplace- bzw. Skingleichung umgeformt werden. Die dabei entstehenden und zu lösenden Differentialgleichungen sind vektorielle Helmholtzgleichungen.

Das Koordinatensystem, welches für die Berechnungen zugrunde gelegt werden kann, ergibt sich leicht auf Grund der Rotationssymmetrie; es ist das kreiszylindrische Koordinatensystem.
Als geometrische Parameter der Problemstellung sollen die sechs vorhandenen Räume interpretiert werden, die durch Flächen konstanter Koordinaten aus der gegebenen Anordnung im Koordinatensystem entstehen. In jedem Raum ist eine eigene Feldgleichung zu erfüllen. Als Randbedingungen werden natürlich die allgemein gültigen Stetigkeitsbedingungen der magnetischen Feldstärke bzw. der Induktion angenommen. Hierbei stellt der hochpermeable Polschuh eine Ausnahme dar, da hier lediglich eine Oberflächenrandbedingung angenommen werden kann. Vergessen werden darf dabei aber auch nicht das Durchflutungsgesetz, das die Feldgrößen mit dem eingeprägten erregenden Strom verknüpft.

Die Angabe der verteilten Parameter setzt eine vertiefte Kenntnis der physikalischen Vorgänge voraus, dazu wird in allen sechs Räumen die Induktion bzw. die Stromdichte in den leitenden Räumen benötigt. Da das Prozessmodell für das induktive Härten erstellt wird, können zusätzlich noch der Poyntingsche Vektor bzw. die Verlustleistungsdichte angegeben werden. Konzentrierte Parameter gibt es hier in dieser Form hingegen nicht. Würde man diese Anordnung zusammen mit der Strom- / Spannungsversorgung betrachten, so müssten an dieser Stelle die Impedanzen stehen. Mit einem solchen Modell könnte das elektrische Verhalten aus Sicht der Ansteuerung und Regelung betrachtet werden.

Ziel der Prozessanalyse ist die Bewertung der einzelnen Komponenten, aus der das analytische Feldproblem besteht. Es ist herauszufinden, ob dabei nicht eine oder mehrere Komponenten zu vereinfachen oder wegzulassen sind. Wie bereits eingangs erwähnt, erfordert die Prozessmodellbildung Intuition und Erfahrung; daher ist es nicht sinnvoll, bei der Erstellung des Prozessmodells stur nach der Reihenfolge der oben genannten Punkte vorzugehen, sondern ist durchaus legitim, die einfachen, d.h. schnell handhabbaren Punkte zuerst abzuhandeln, um sich dann den diffizilen zu widmen.

Zunächst stellt sich die Frage, ob man nicht von dem rotationssymmetrischen Problem zu einen ebenen übergehen kann. Damit würde sich die Rechnung wesentlich vereinfachen, da dies im Bereich der nichtorthogonalen Funktionen einem Wechsel von Zylinderfunktionen zu Exponential- bzw. Hyperbelfunktionen gleich käme. Um hier zu einer Aussage zu kommen, muss man die Argumente und die asymptotischen Entwicklungen der Besselfunktionen betrachten. Die Argumente bestehen aus dem Produkt der Eigenwerte und der Koordinaten. Dies bedeutet, dass sie auf Grund der Prozessparameter groß sind, sich aber nicht sehr stark mit der Koordinate ändern. Die erste Aussage ist sehr leicht durch einfaches Einsetzen zu überprüfen, während die zweite Aussage nicht sofort einsichtig ist. Hier wird angemerkt, und weiter unten genauer untersucht, dass sich bei den verwendeten hohen Frequenzen näherungsweise ein Strombelag ausbildet. Somit fließen die Wirbelströme direkt unter der Oberfläche, und damit wird auch dort die Verlustleistung umgesetzt. Weiterhin wird der Luftspalt sehr klein gewählt, damit möglichst viel Leistung in das Werkstück übertragen werden kann. Im Ergebnis liegt die Koordinatenänderung in dieser Richtung bei wenigen Millimetern, wogegen die Koordinaten selbst in der Größenordnung von 30-40 mm liegen. Allgemeiner gilt dies für alle Fälle, wo der Radius wesentlich größer als der Luftspalt ist. Folgerichtig kann man ohne große Auswirkungen auf das Ergebnis, d.h. unter Inkaufnahme eines geringen Fehlers, von der rotationssymmetrischen zur ebenen Anordnung übergehen.

Im folgenden soll die Nuttiefe betrachtet werden; das heißt: der Bereich zwischen der Polschuhkante und dem erregenden Leiter. Dieser Raum entsteht bei der Herstellung des Polschuhs, da das Rohr des erregenden Leiters in den Polschuh hineingepresst wird. Die hier auftretende Größenordnung liegt bei wenigen Zehntel Millimetern; und so stellt sich die Frage, ob dieser Raum überhaupt notwendig für das Prozessmodell ist. Betrachtet man die Feldverläufe in diesem Bereich, so stellt man fest, dass sich nur bei großen Nuttiefen die Felder wesentlich ändern. Dieses Phänomen lässt sich durch den hochpermeablen Polschuh erklären, der das magnetische Feld bündelt und es bevorzugt an den Stirnflächen des Polschuhs austreten lässt. In diesem Zusammenhang kann man weiterhin feststellen, dass dadurch die Induktion im Außenraum nahezu Null ist. Aus diesen Beobachtungen lässt sich ableiten, dass man die beiden genannten Räume für ein Prozessmodell der gegebenen Anordnung nicht benötigt.

Übrig geblieben sind bis jetzt noch die beiden Leiter, der Luftspalt sowie der Polschuh. An eine Vereinfachung des Luftspaltes ist nicht zu denken, da seine Breite wesentlichen Einfluss auf die Feldverteilungen und die übertragene Leistung hat. Auch der Polschuh ist für die Verteilung des magnetischen Feldes von entscheidender Bedeutung; er verhindert die Streuflussbildung, und an seinen Stirnflächen tritt das Feld senkrecht aus.

Betrachtet man die beiden Leiter mit den in ihnen fließenden Strömen und Wirbelströmen, so sieht man, dass diese eigentlich nur in einem sehr dünnen Bereich unterhalb der Oberfläche fließen. Dadurch ist das Innere der Leiter quasi feldfrei. Hier ließe sich jetzt eine Methode anwenden, bei der man nicht mehr den ganzen Leiter betrachtet, sondern nur noch seine Wirkung zu den angrenzenden Räumen. Das heißt eine Randbedingung zu finden, die zum einen das exponentielle Abklingen der Stromdichte in den Leiter hinein, zum anderen aber auch noch den beim Werkstück vorhandenen Sprung der Permeabilität berücksichtigt. Eine solche Randbedingung lässt sich nach einer kurzen, weiter unten durchgeführten vektoranalytischen Rechnung finden. Bei dieser Randbedingung hängen die Feldgrößen des Außenraumes nur noch von einem Universalparameter ab. Dieser enthält alle Materialparameter sowie die Frequenz des erregenden Stromes.

Fasst man die vorangegangenen Schlussfolgerungen zusammen, so gelangt man zu dem links dargestellten Prozessmodell. Es berücksichtigt die Wirkung des erregenden Stromes und die Rückwirkungen der Wirbelströme auf das Feld im Luftspalt. Dabei wird die oben angesprochene Randbedingung verwendet, die das exponentielle Abklingen der Stromdichten in die Leiter hinein beinhaltet. Weiterhin sorgen die übrigen Randbedingungen dafür, dass die magnetischen Feldlinien senkrecht aus dem Polschuh austreten und dass der Außenraum feldfrei bleibt.

An dieser Stelle sei nochmals darauf hingewiesen, dass Veränderungen der Materialparameter oder der Geometrie den Fehler des Prozessmodells vergrößern können oder sogar völlig falsche Werte liefern können; d.h., das Prozessmodell ist immer nur für bestimmte Parameterbereiche (Produktionsparameter) gültig.

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4 Schema der Prozessmodellbildung

Fasst man die vorangegangenen Ausführungen zusammen und führt sie einer Systematik zu, so gelangt man zum unten dargestellten Schema. Es soll den Vorgang der Prozessmodellbildung veranschaulichen und kann gleichzeitig als Ablaufkontrolle dienen.

Im linken Bildteil ist die reale Anordnung zum induktiven Oberflächenhärten dargestellt, darunter die Punkte, aus denen die wesentlichen Elemente ausgewählt werden. Die genannten Punkte beziehen sich auf diejenigen, die für das feldtheoretische Problem von Bedeutung sind. Daraus wurde das Modell entwickelt, welches in der Mitte abgebildet ist. Es enthält nahezu alle Komponenten der Anordnung, so dass auch Berechnungen durchgeführt werden können, die außerhalb der Bereiche der Prozessparameter liegen. Es kann weiterhin zur Validierung des Prozessmodells verwendet werden. Nach entsprechender Bewertung der einzelnen Punkte und der strukturierten Entkopplung gelangt man so zu dem Prozessmodell (rechter Bildteil). Durch die gewählte tabellarische Form ist die für das Prozessmodell erforderliche Reduzierung sehr gut ersichtlich.

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5 Ausblick

Am Beispiel des induktiven Oberflächenhärtens wurde das Verfahren der Prozessmodellbildung gezeigt. Inwieweit die hier dargestellten Gedanken zu allgemeinen Modell- und Prozessmodellstrukturen sich in verschiedenen Bereichen verwirklichen lassen und ob sie nach einer Realisierung auch noch nutzbringend eingesetzt werden können, ist Ziel weiterer auf dieser Arbeit aufbauenden Forschungen (siehe hierzu: Allgemeine Theorie der Prozessmodellstrukturen).

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Projektträger:Eigenforschung BTU Cottbus
Lehrstuhl Theoretische Elektrotechnik und Prozessmodelle
Abgeschlossen:Februar 1999

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